～月下の夜想曲～

已知e^x 、cos x、sin x的泰勒展開式如下：

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

cos x = 1- x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

sin x = x- x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

則

e^iz = 1 + (iz) + (iz)²/2! + (iz)³/3! + ...

我們又知道

i = √-1 ; i² = -1 ; i³ = - √-1 = - i

i⁴ = 1 ; i⁵ = i

所以

e^iz = 1 + (iz) - z²/2! - iz³/3! + z⁴/4! + iz⁵/5!

      - z⁶/6! - iz⁷/7! + z⁸/8! ...

    = ( 1- z²/2! + z⁴/4! - z⁶/6! + z⁸/8! - ... )

      + i (z- z³/3! + z⁵/5! - z⁷/7! + ... )

    = cos z + i sin z

2.以微積分證明之

定義一個函數 f(x) = (cos x + i sin x) / e^ix

此函數必存在

因為e^ix e^-ix = e⁰ = 1，所以分母e^ix 不會為 0

對f(x)微分：

f'(x) = ((-sin x + icos x)e^ix - (cos x + i sin x)ie^ix)

        / (e^ix)²

      = ((- sin x) e^ix - i²( sin x)e^ix ) / (e^ix )²

      = (- sin x + sin x ) / e^ix

      = 0

f(x)一次微分結果為0，因此f(x)必為一個常數函數

則 f(x) = f(0) = (cos 0 + i sin 0) / eⁱ⁰ = 1

(cos x + i sin x) / e^ix  = 1

e^ix  = cos x + i sin x

3.以二階線性常微分方程式證明之

  (2nd-Order Linear Ordinary Differential Equations)

定義 f(x) ≡e^ix 

f'(x) = i e^ix 

f"(x) = i² e^ix = - e^ix 

=> f"(x) = - f(x)

=> f"(x) + f(x) = 0

則此二階線性常微分方程式的解可以為sin、cos的線性組合

f(x) = Acos(x) + B sin(x)

=> f(0) = eⁱ⁰  = 1; f'(0) = ieⁱ⁰  = i

又

f(0) = Acos(0) + B sin(0) = A

f'(0) = -Acos(0) + B sin(0) = B

因此

f(0) = A = 1; f'(0) = B = i

f(x) ≡e^ix  = cos(x) + i sin(x)