close
三大古希臘難題全是幾何問題
無刻度直尺(un-marked straightedge)及圓規(compass)
所以二千多年來這三道問題一直困擾著西方的數學家們
1.Doubling the cube(立方倍積)
相傳西元前430年時，希臘Delos島上瘟疫流行，居民恐懼而向島上守護神Apollo祈禱，祭司傳達神的指示告訴居民：把神殿前的正立方體祭壇加大為二倍，瘟疫自解。居民們相當高興，立即動工興建新祭壇，使每一稜的長度都擴大為原舊祭壇的二倍。然而祭壇建好後，瘟疫不但未停止反而更猖獗，居民們又驚又懼之餘，一個學者指出了錯誤：每稜變成二倍，體積就變成八倍了，神要的是二倍而不是八倍。大家都覺得這個說法很對，於是改在神殿前並排擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個祭壇，可是瘟疫仍不見消滅。人們困擾地再去問神，這次神回答說：「你們所做的祭壇體積確實是原來的二倍，但形狀卻並不是正方體了，我所希望的是體積二倍，而形狀仍是正方體。」居民們恍然大悟，就去找當代大學者Plato請教。由Plato和他的弟子們熱心研究，但不曾得到解決。而由於這個傳說，立方倍積問題也被稱為Delian Problem。
2.Angle trisection(三等分角)
三等分角的問題也許是人類史上出現最早的數學難題，因為來源已不可考。西元前600年前希臘數學家們已發明了二等分任意角的方法(如果你不會...請回家向國小老師懺悔)，然而三等分角的尺規方法至今依然是無解。
3.Squaring a circle(化圓為方)
這問題應與Delian Problem同時代。數學史上三位最偉大數學家之一的Archimedes把這問題化成下述的形式：已知一圓的半徑是r，圓周就是2πr，面積是πr2。由此若能作一個直角三角形，其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長2πr及半徑r，則這三角形的面積就是
(1/2)(2πr)(r)=πr2
與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。但是如何作這直角三角形的邊。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長，但這問題Archimedes可就解不出了。
-----------------------------------------------------
這些問題一直到十九世紀才被證明，均是無解。然而所謂的無解並不是指數學家們無法答覆，而是數學家們可以證明這些作圖問題是辦不到的。但這些無解的問題卻引領數學家們發現了新問題，也就是「超越數」，Diophantine analysis and transcendental number theory，也讓數學研究進入了另一個新領域。
參考資料：
【1】F. Klein,《Famous problems of elementary geometry》
【2】N. Jacobson,《Basic Algebra I》
【3】The Classical Greek Problems
全站熱搜
留言列表
Introduction (2)
